Como captar o movimento de uma bola de futebol chutada pelo goleiro?

O goleiro coloca a bola em jogo com um chute forte. A bola sobe até um ponto máximo e começa a descer descrevendo, assim, uma curva que recebeu o nome de parábola. O físico italiano Galileu Galilei, 1564 a 1642 (foto), estudou atentamente movimentos como o desta bola e concluiu que, se não fosse a resistência do ar, qualquer corpo solto no campo de gravidade da Terra se movimentaria do mesmo modo. Ou seja, ao fim de 1 segundo percorreria cerca de 5 X 12 = 5 metros;depois de 2 segundos, percorreria cerca de 5 X 22 = 20
metros; depois de 3 segundos, 5 X 32 = 45 metros; e assim sucessivamente. Desta forma, depois de x segundos, percorreria 5 X x2 metros, onde 5 é aproximadamente a metade da aceleração da gravidade em metros por segundo, em cada segundo. Isto é o mesmo que escrever a função f (x) = 5x2. Galileu agrupou todos esses elementos em um importante conceito matemático: função quadrática. Toda função na qual a variável x aparece com o expoente máximo igual a 2 é chamada de função quadrática, ou polinomial de segundo grau, pois o expoente máximo da variável é o quadrado.

1. O grau de uma função
O grau de uma variável independente é dado pelo seu expoente. Assim, as funções de segundo grau são dadas por um polinômio de segundo grau, e o grau do polinômio é dado pelo monômio de
maior grau.

Portanto, as funções de segundo grau têm a variável independente com grau 2, ou seja, o seu maior expoente é 2. O gráfico que corresponde a essas funções é uma curva denominada parábola.

No dia-a-dia, há muitas situações definidas pelas funções de segundo grau. A trajetória de uma bola lançada para a frente é uma parábola. Se fizermos vários furos em várias alturas num bote cheio de água, os pequenos jorros de água que saem pelos furos descrevem parábolas. A antena parabólica tem a forma de parábola, originando o seu nome.

2. Definição
Em geral, uma função quadrática ou polinomial do segundo grau é expressa da seguinte forma:

f (x) = ax² + bx + c, onde a 0

Observamos que aparece um termo de segundo grau, ax2. É essencial que exista um termo de segundo grau na função para que ela seja uma função quadrática, ou de segundo grau. Além disso, esse termo deve ser o de maior grau da função, pois se houvesse um termo de grau 3, isto é, ax³, ou de grau superior, estaríamos falando de uma função polinomial de terceiro grau.


Assim como os polinômios podem ser completos ou incompletos, temos funções de segundo grau incompletas, como:

f (x) = x2

f (x) = ax2

f (x) = ax2+ bx

f (x) = ax2 + c
Pode acontecer de o termo de segundo grau aparecer isoladamente, como na expressão geral y = ax2; acompanhado por um termo de primeiro grau, como no caso geral y = ax2 + bx; ou também unido a um termo independente ou a um valor constante, como em y = ax2 + c.

Quer saber mais acerca da vida e obra de M. C. Escher?

então basta acessar oslinks abaixo:

http://prof.ccems.pt/matematicaonline/Escher/browser.html
http://mathematikos.psico.ufrgs.br/escher.html
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm21/

Agora é com você...

Através deste blog e dos sites ,você observou várias obras do M. Escher. Qual obra você mais gostou? Justifique...
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Seus trabalhos podem ser encontrados em todas as partes do mundo. Conheça um pouco deles:

MATEMÁTICA E ARTE

A ARTE DE M. ESCHER

***MAURITS C. ESCHER***

Maurits C. Escher nasceu em Leeuwarden, Holanda, em 1898, e morreu em 1972. Viveu (e estudou) em vários países, como Itália, Suiça e Bélgica. Morreu aos 73 anos, justamente quando estava se tornando conhecido mundialmente, não somente entre os matemáticos e cientistas (que foram os primeiros a se interessar pelo seu trabalho), mas pelo público, em geral. Um artista que conheça alguma coisa sobre Matemática é capaz de montar uma composição acerca de um tema matemático da mesma forma que os pintores da Renascença fizeram com temas religiosos, ou os pintores russos fizeram com os temas políticos. Entretanto, nenhum artista foi mais bem sucedido que M. Escher no tema “arte matemática”.

Entre a Arte e a Matemática Os trabalhos de Escher constroem-se, em grande parte, sobre o fascínio por alguns objectos e conceitos matemáticos (infinito, sólidos platônicos, rotações, simetrias, translações...). Não é pois de espantar que a sua obra tenha chamado à atenção de alguns matemáticos, como Penrose e Coxeter. Este último, nota que “...a qualidade estética da sua obra enriquece a dimensão Matemática da lógica, da geometria e do paradoxo e é por ela enriquecida...” (1988, cit. in Martinho, 1996).

Contudo, parece-nos importante referir que Escher nunca teve formação em Matemática. Aliás, como o próprio Escher referiu várias vezes, não se considerava um matemático. O que não o impedia de reconhecer a proximidade do seu trabalho à Matemática: “...apesar de não possuir qualquer conhecimento ou treino nas ciências exatas, sinto muitas vezes que tenho mais em comum com os matemáticos do que com os meus colegas artistas...” (1967, cit. in APM, 1998, p.9)

Digamos que Escher se “situa” algures entre a Arte e a Matemática, e que a sua obra concilia de forma extraordinária estes dois universos, o artístico e o matemático. O seu interesse pela expressão plástica de objectos matemáticos manifesta-se muito cedo e, posteriormente, como ele próprio refere “...confrontando os enigmas que nos rodeiam e considerando e analisando as observações que fazia, terminei nos territórios da Matemática...” (1967, cit. in APM, 1998, p.9) Seus trabalhos podem ser encontrados em todas as partes do mundo. Conheça um pouco deles nas próximas postagens.

Questões contextulizadas

RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES CONTEXTUALIZADAS

RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES CONTEXTUALIZADAS

QUESTÕES CONTEXTUALIZADAS SOBRE FUNÇÃO QUADRÁTICA

1) Um menino está à distância de 6 m de um muro de altura 3 m e chuta uma bola que vai bater exatamente sobre o

muro. Se a função da trajetória da bola em relação ao sistema de coordenadas indicado pela figura é y = ax2 + (1 – 4a)x,

determine a altura máxima atingida pela bola.

2) Durante a 2ª Guerra Mundial, um foguete foi lançado de uma base militar alemã. Pouco tempo depois do lançamento, ela apresenta defeito e deve cair em um lugar perigoso para a população. Sua trajetória é dada pelo gráfico da função y = - x2 + 200x, com x e y em metros.

Para interceptá-lo, é lançado um míssil, cuja trajetória é descrita por y = 50x, com x e y em metros. Determine então, a quantos metros de altura o míssil irá interceptar o foguete.

Nossas considerações sobreo o Winplot.

O Winplot é um dos melhores softwares gratuitos capaz de re­presentar diversos tipos de grá­ficos. Com o Winplot é possível desenhar pontos, funções em duas e três dimensões, além do desenvolvimento de animações. O software foi desenvolvido pelo professor Richard Par­ris, da Philips Exeter Academy (http://math.exeter.edu/rpar­ris/winplot.html). Está também em português, onde o trabalho de tradução resultou da iniciativa e empenho de Professor Adelmo Ribeiro de Jesus e com a participação nas versões mais recentes do Professor Carlos César de Araújo . Além das funções consideradas sérias, o Winplot pode ser visto como um ambiente de jogo. Ao aces­sar o menu “adivinhar”, o usuá­rio tem que descobrir qual fun­ção gera determinado gráfico.

Nossos objetivos(ao elaborar esse trabalho):

**Desenvolver atividades utilizando o software Winplot.
**Resolver problemas de aplicação sobre função quadrática , tendo como foco a educação matemática.
**Explorar os diferentes comandos do software Winplot.
**Verificar a aplicabilidade do software no Ensino Médio, a partir de uma proposta de aplicabilidade no dia-a-dia com questões contextualizadas.

Considerações Finais

Com esse trabalho que integra Tecnologias, Informática e Modelagem Matemática (processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos.Consiste ,essencialmente,na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual) , o processo de inserção dos recursos tecnológicos na escola passa por uma dinâmica de mudança que abrange a prática do professor e sua proposta pedagógica ao desenvolver um trabalho de Modelagem Matemática em ambientes informatizados. Esse momento possibilita o surgimento de profissionais críticos e criativos, capazes de, através do uso de tecnologias diferenciadas, abordar diferentes conceitos que utilizem a experimentação e investigação,contribuindo para as mais variadas representações e reflexões na sala de aula de Matemática.