Como captar o movimento de uma bola de futebol chutada pelo goleiro?

O goleiro coloca a bola em jogo com um chute forte. A bola sobe até um ponto máximo e começa a descer descrevendo, assim, uma curva que recebeu o nome de parábola. O físico italiano Galileu Galilei, 1564 a 1642 (foto), estudou atentamente movimentos como o desta bola e concluiu que, se não fosse a resistência do ar, qualquer corpo solto no campo de gravidade da Terra se movimentaria do mesmo modo. Ou seja, ao fim de 1 segundo percorreria cerca de 5 X 12 = 5 metros;depois de 2 segundos, percorreria cerca de 5 X 22 = 20
metros; depois de 3 segundos, 5 X 32 = 45 metros; e assim sucessivamente. Desta forma, depois de x segundos, percorreria 5 X x2 metros, onde 5 é aproximadamente a metade da aceleração da gravidade em metros por segundo, em cada segundo. Isto é o mesmo que escrever a função f (x) = 5x2. Galileu agrupou todos esses elementos em um importante conceito matemático: função quadrática. Toda função na qual a variável x aparece com o expoente máximo igual a 2 é chamada de função quadrática, ou polinomial de segundo grau, pois o expoente máximo da variável é o quadrado.

1. O grau de uma função
O grau de uma variável independente é dado pelo seu expoente. Assim, as funções de segundo grau são dadas por um polinômio de segundo grau, e o grau do polinômio é dado pelo monômio de
maior grau.

Portanto, as funções de segundo grau têm a variável independente com grau 2, ou seja, o seu maior expoente é 2. O gráfico que corresponde a essas funções é uma curva denominada parábola.

No dia-a-dia, há muitas situações definidas pelas funções de segundo grau. A trajetória de uma bola lançada para a frente é uma parábola. Se fizermos vários furos em várias alturas num bote cheio de água, os pequenos jorros de água que saem pelos furos descrevem parábolas. A antena parabólica tem a forma de parábola, originando o seu nome.

2. Definição
Em geral, uma função quadrática ou polinomial do segundo grau é expressa da seguinte forma:

f (x) = ax² + bx + c, onde a 0

Observamos que aparece um termo de segundo grau, ax2. É essencial que exista um termo de segundo grau na função para que ela seja uma função quadrática, ou de segundo grau. Além disso, esse termo deve ser o de maior grau da função, pois se houvesse um termo de grau 3, isto é, ax³, ou de grau superior, estaríamos falando de uma função polinomial de terceiro grau.


Assim como os polinômios podem ser completos ou incompletos, temos funções de segundo grau incompletas, como:

f (x) = x2

f (x) = ax2

f (x) = ax2+ bx

f (x) = ax2 + c
Pode acontecer de o termo de segundo grau aparecer isoladamente, como na expressão geral y = ax2; acompanhado por um termo de primeiro grau, como no caso geral y = ax2 + bx; ou também unido a um termo independente ou a um valor constante, como em y = ax2 + c.

Quer saber mais acerca da vida e obra de M. C. Escher?

então basta acessar oslinks abaixo:

http://prof.ccems.pt/matematicaonline/Escher/browser.html
http://mathematikos.psico.ufrgs.br/escher.html
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm21/

Agora é com você...

Através deste blog e dos sites ,você observou várias obras do M. Escher. Qual obra você mais gostou? Justifique...
**Agora imagine você conversando com o Artista Escher...
**O que você perguntaria a ele?
**Qual o comentário que você faria sobre as Obras de Arte dele?

INTERAJA CONOSCO,COMENTE ....

Seus trabalhos podem ser encontrados em todas as partes do mundo. Conheça um pouco deles:

MATEMÁTICA E ARTE

A ARTE DE M. ESCHER

***MAURITS C. ESCHER***

Maurits C. Escher nasceu em Leeuwarden, Holanda, em 1898, e morreu em 1972. Viveu (e estudou) em vários países, como Itália, Suiça e Bélgica. Morreu aos 73 anos, justamente quando estava se tornando conhecido mundialmente, não somente entre os matemáticos e cientistas (que foram os primeiros a se interessar pelo seu trabalho), mas pelo público, em geral. Um artista que conheça alguma coisa sobre Matemática é capaz de montar uma composição acerca de um tema matemático da mesma forma que os pintores da Renascença fizeram com temas religiosos, ou os pintores russos fizeram com os temas políticos. Entretanto, nenhum artista foi mais bem sucedido que M. Escher no tema “arte matemática”.

Entre a Arte e a Matemática Os trabalhos de Escher constroem-se, em grande parte, sobre o fascínio por alguns objectos e conceitos matemáticos (infinito, sólidos platônicos, rotações, simetrias, translações...). Não é pois de espantar que a sua obra tenha chamado à atenção de alguns matemáticos, como Penrose e Coxeter. Este último, nota que “...a qualidade estética da sua obra enriquece a dimensão Matemática da lógica, da geometria e do paradoxo e é por ela enriquecida...” (1988, cit. in Martinho, 1996).

Contudo, parece-nos importante referir que Escher nunca teve formação em Matemática. Aliás, como o próprio Escher referiu várias vezes, não se considerava um matemático. O que não o impedia de reconhecer a proximidade do seu trabalho à Matemática: “...apesar de não possuir qualquer conhecimento ou treino nas ciências exatas, sinto muitas vezes que tenho mais em comum com os matemáticos do que com os meus colegas artistas...” (1967, cit. in APM, 1998, p.9)

Digamos que Escher se “situa” algures entre a Arte e a Matemática, e que a sua obra concilia de forma extraordinária estes dois universos, o artístico e o matemático. O seu interesse pela expressão plástica de objectos matemáticos manifesta-se muito cedo e, posteriormente, como ele próprio refere “...confrontando os enigmas que nos rodeiam e considerando e analisando as observações que fazia, terminei nos territórios da Matemática...” (1967, cit. in APM, 1998, p.9) Seus trabalhos podem ser encontrados em todas as partes do mundo. Conheça um pouco deles nas próximas postagens.

Questões contextulizadas

RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES CONTEXTUALIZADAS

RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES CONTEXTUALIZADAS

QUESTÕES CONTEXTUALIZADAS SOBRE FUNÇÃO QUADRÁTICA

1) Um menino está à distância de 6 m de um muro de altura 3 m e chuta uma bola que vai bater exatamente sobre o

muro. Se a função da trajetória da bola em relação ao sistema de coordenadas indicado pela figura é y = ax2 + (1 – 4a)x,

determine a altura máxima atingida pela bola.

2) Durante a 2ª Guerra Mundial, um foguete foi lançado de uma base militar alemã. Pouco tempo depois do lançamento, ela apresenta defeito e deve cair em um lugar perigoso para a população. Sua trajetória é dada pelo gráfico da função y = - x2 + 200x, com x e y em metros.

Para interceptá-lo, é lançado um míssil, cuja trajetória é descrita por y = 50x, com x e y em metros. Determine então, a quantos metros de altura o míssil irá interceptar o foguete.

Nossas considerações sobreo o Winplot.

O Winplot é um dos melhores softwares gratuitos capaz de re­presentar diversos tipos de grá­ficos. Com o Winplot é possível desenhar pontos, funções em duas e três dimensões, além do desenvolvimento de animações. O software foi desenvolvido pelo professor Richard Par­ris, da Philips Exeter Academy (http://math.exeter.edu/rpar­ris/winplot.html). Está também em português, onde o trabalho de tradução resultou da iniciativa e empenho de Professor Adelmo Ribeiro de Jesus e com a participação nas versões mais recentes do Professor Carlos César de Araújo . Além das funções consideradas sérias, o Winplot pode ser visto como um ambiente de jogo. Ao aces­sar o menu “adivinhar”, o usuá­rio tem que descobrir qual fun­ção gera determinado gráfico.

Nossos objetivos(ao elaborar esse trabalho):

**Desenvolver atividades utilizando o software Winplot.
**Resolver problemas de aplicação sobre função quadrática , tendo como foco a educação matemática.
**Explorar os diferentes comandos do software Winplot.
**Verificar a aplicabilidade do software no Ensino Médio, a partir de uma proposta de aplicabilidade no dia-a-dia com questões contextualizadas.

Considerações Finais

Com esse trabalho que integra Tecnologias, Informática e Modelagem Matemática (processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos.Consiste ,essencialmente,na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual) , o processo de inserção dos recursos tecnológicos na escola passa por uma dinâmica de mudança que abrange a prática do professor e sua proposta pedagógica ao desenvolver um trabalho de Modelagem Matemática em ambientes informatizados. Esse momento possibilita o surgimento de profissionais críticos e criativos, capazes de, através do uso de tecnologias diferenciadas, abordar diferentes conceitos que utilizem a experimentação e investigação,contribuindo para as mais variadas representações e reflexões na sala de aula de Matemática.

Vª Mostra de Projetos UNIJORGE

Logo em breve vocês terão uma amostra de atividades,contextualizadas com o dia-a-dia, abordadando a FUNÇÃO QUADRÁTICA.

A função quadrática modela muitos fenômenos físicos e químicos(os quais não abordaremos aqui). É importante que a aprendizagem deste tipo de função seja significativa para os alunos. Dessa forma, é fundamental que se relacione o formalismo matemático com suas aplicações no cotidiano dos alunos.

É de fundamental importância, para que a aprendizagem do aluno possa ser significativa, que se relacione o conceito que envolve a função quadrática com suas aplicações práticas. A importância de buscar dados e informações em diferentes fontes, para encontrar aplicações dessa função está no fato de se perceber a grandiosidade de fenômenos que podem ser descritos por uma função matemática como a função quadrática e de relacioná-la com a sua vida, dando sentido ao conceito e ao formalismo matemático envolvido nessa função.

UMA BREVE INTRODUÇÃO...

FUNÇÕES E GRÁFICOS

UTILIZANDO O WINPLOT

O WINPLOT é um programa de domínio público, produzido por Richard Parris, da Phillips Exeter Academy, em New Hampshire. Recentemente traduzido para o Português, o Winplot tem a vantagem de ser simples, utiliza pouca memória, mas por outro lado dispõe de vários recursos que o tornam atraente e útil para os diversos níveis de ensino-aprendizagem.
De acordo com o seu nome, o WIN...PLOT é um programa para plotar gráficos de funções em Matemática, de uma ou duas variáveis, utilizando o Windows. Além disso, executa uma série de outros comandos, permitindo inclusive realizar animações de gráficos com um ou mais parâmetros.

Embora o Winplot seja um programa com pouco mais de 1 MB, podemos dispor de um menu básico com algumas opções, como:

** 2-dim Funções de uma variável, na forma y = f(x) (cartesiana), r = f(t) (forma polar), x=f(t) e y = g(t) (paramétrica)

**3-dim Funções reais de duas variáveis, em coordenadas cartesianas ou paramétricas, e curvas no espaço
**Adivinhar Atividade que permite interagir com o programa, na tentativa de adivinhar a
equação cujo gráfico é posto na tela. Muito boa atividade para o estudo
de funções.
** Mapeador Opção que permite trabalhar com transformações lineares no plano.


Tendo em vista os objetivos deste resumo, nos restringiremos à análise de gráficos de funções do tipo y=f(x) (com maior ênfase), r=f(t), e também curvas na forma paramétrica. Desenvolveremos também algumas atividades que podemos criar animações com estas funções.
A nossa estratégia será investigar as propriedades do Winplot como em uma “oficina”, partindo do mínimo necessário para obter um gráfico e daí tirando algumas informações adicionais. Além disso, pretende-se construir atividades com os professores cursistas, no sentido de eles utilizarem este programa em sala-de-aula, tanto de 5a a 8a quanto no Ensino Médio.



PARTE I - PEQUENO MANUAL DO WINPLOT

O Winplot é um programa criado por Richard Parris, da Philipps Exeter Academy. Traduzido para o português, ele pode ser encontrado no site http://math.exeter.edu/rparris. É um programa simples, mas poderoso, podendo executar um grande número de tarefas. Outra de suas vantagens é ser gratuito, podendo por isso ser utilizado sem problemas por professores e alunos do Ensino Fundamental, Médio, e Superior. Neste sentido achamos útil que este programa seja difundido para professores de Matemática, trazendo com isso uma possibilidade de maior interação às aulas de Matemática.
Ao abrirmos o programa nós encontramos duas opções: Janela e Sobre. Em “Janela” temos quatro escolhas: 2-dim, 3-dim, Adivinhar e Mapeador .

A opção Adivinhar exibe gráficos de funções para que possamos adivinhar sua equação. Podem ser selecionados tipos mais simples (retas, parábolas) ou tipos mais avançados (seno, cosseno , funções racionais, etc) .

No exemplo figura acima vemos que o programa exibiu o gráfico de uma parábola. A partir daí (Comandos "Equa - Adivinhar) digitamos uma função na caixa de diálogo. Se foi digitada a função correta, aparecerá uma mensagem afirmativa dizendo "Perfeito" . Caso contrário, o gráfico de sua função digitada aparecerá na tela, mostrando então o erro cometido.

Na opção Mapeador podemos trabalhar com transformações lineares do plano no plano. O programa exibe duas janelas: Uma para o domínio, e outra para o contradomínio. A figura abaixo mostra o efeito de um cisalhamento T(x,y) = ( x+2y, y) em um quadrado de lado 2 do plano.

A OPÇÃO 2-DIM DO WINPLOT

Os comandos 2-dim e 3-dim permitem que trabalhemos com funções no plano ou funções no espaço.
Na opção 2-dim temos as opções:


**forma Explícita (tipo y=f(x) )
** forma Paramétrica ( x = f(t), y = g(t ) )
**forma Implícita (tipo f(x,y) = c )
**forma Polar (tipo r=f(t) )

Aparecem ainda opções de equação de ponto, segmento, reta , bem como Seqüências recursivas no plano, Equações Diferenciais e Polinômio.
A opção Polinômio é interessante e interativa. O programa exibe gráficos de polinômios de graus 2 até 8, onde podemos incluir ou excluir pontos na tela, aumentando ou diminuído o seu grau. Para se incluir pontos, clique com o botão direito do mouse em um ponto da tela. Para excluir um ponto, clique sobre ele com o botão direito do mouse. O programa permite também mover os gráficos dos polinômios, bastando para isso arrastar um dos pontos do gráfico, com o mouse (com o botão esquerdo clique no ponto e segure. Arraste o ponto com o mouse)

Os Arquivos de Ajuda
Existe em cada Menu um arquivo de Ajuda, em português, que permite ao usuário tirar suas dúvidas. Por exemplo, as funções da opção “ Explicita “ devem ser digitadas de modo compatível com o programa. Listamos abaixo algumas funções e o modo de digitá-las no Winplot. O leitor pode encontrar estas (e outras) funções através do menu “Equa - Biblioteca”

Um Exemplo Ilustrativo:

No exemplo abaixo exibimos o gráfico da função y=x²-4. Usando a opção Ver ® Ver dimensionamos a janela dos eixos Ox e Oy . Usando a opção Ver ® Grade escolhemos os intervalos das marcas (ticks) nos eixos x e y, o número de decimais em cada eixo, e o tamanho da marca utilizada nos eixos ( no caso, 0.7).

No caso, escolhemos 0.5 para o intervalo do eixo Ox, e optamos por trabalhar com 1 decimal neste eixo.

Para inserir a equação y=x^2-4 na tela do computador usamos a opção Equação - Inventário - Mostrar equação.
Para mover a equação y = x^2-4 pela tela, o mouse tem que estar na opção “Texto”. Para isso, utilize Btns - Texto, e arraste a equação até o local desejado.

Outras Opções dos Menus:

Existem outras opções que são utilizadas com mais freqüência. São elas:

Menu Equação

Fonte Permite mudar a fonte da equação
Biblioteca Dá a lista de funções no formato adequado
Definir função Permite ampliar a biblioteca, criando uma nova função

Menu Ver

Ver Permite redimensionar os eixos, para maior visualização do gráfico.
Zoom Use as teclas Page Up e Page Down para afastar-se ou aproximar-se do gráfico
Mover Use as setas (cima, baixo, direita, esquerda) do teclado para mover o gráfico.
Restaurar Restaura a configuração padrão.
Grade Apresenta um quadro com uma série de opções para melhor adequação da janela. Pode-se colocar vários tipos de escalas nos eixos, usando inclusive múltiplos de p, visualizar a grade correspondente, etc.
Eixos Muda cor, espessura, etc dos eixos Ox e Oy
Linhas de Grade Exibe ou não as linhas da grade do plano, e adequa as cores.

Menu Botões

Arrastar Box LB/Recentr RB -O botão esquerdo ( LB) do mouse cria um box para visualizar com mais detalhe um gráfico e o direito (RB) recentraliza o gráfico, com zoom.
Texto -Nos permite mover a equação da função dada para qualquer lugar
da tela. Permite também inserir um texto na tela.

Coords/Recentr -O botão esquerdo dá as coordenadas do ponto selecionado e o direito recentraliza o gráfico, sem mudar o tamanho da janela.

Menu Um

Traço -Permite o usuário percorrer o gráfico de uma função, usando uma barra de rolagem, e visualizar aproximações de Taylor da mesma. É possível também movimentar retas secantes por um ponto fixado na curva, ou ver retas tangentes ao longo da curva. Estas duas opções são úteis, por exemplo, para ilustrar o conceito de derivada.
Zeros Encontra as interseções do gráfico com o eixo Ox
Extremos Encontra os pontos de máximo e mínimo da função
Integração Dá opções de integração da função considerada.

Menu Dois

Interseção Determina a interseção entre duas curvas
Combinações Faz operações com funções: soma, produto, composta, etc
Integrações Dá opções de integração entre duas funções. O programa calcula a integral de f-g, onde f e g são funções especificadas pelo usuário.

Menu Animação (muito útil para obter família de funções utilizando 1 ou mais parâmetros)
Permite animar funções ou equações cuja expressão contenha um parâmetro. Podem ser escolhidos parâmetros a, b, c,....,w . Uma mesma expressão pode conter mais de um parâmetro.
Por exemplo, pode-se trabalhar com a função quadrática
y = ax2+bx+c e variar estes valores.

Menu Miscelânea
Neste menu encontramos as opções de Fontes, de Cores, Eq. Dif. Miscelânea, Dados, Texto, Tolerância, entre outras.


Exemplos de Funções no Winplot

Exemplos de funções quadráticas e suas raízes





Interseção de uma parábola com uma reta Funções Modulares e suas translações





Funções trigonométricas Funções Exponenciais





Área sob curvas planas Função definida por várias sentenças